벡터의 결합과 생성

 

 

요약 

선형성 : (간략한 설명) 가산성과 동차성 성질이 항상 성립하는 경우, 선형성이 있다.

선형 결합 : 선형 연산을 사용해 n개의 스칼라와 n개의 벡터를 결합해 새로운 벡터를 생성하는 수식

선형 종속의 관계 : 모든 a(스칼라)가 0이 아님에도 영벡터를 만들 수 있다면, 선형 결합에 사용된 벡터는 서로 선형 종속의 관계를 가진다 라고 표현한다.

선형 독립의 관계 : 영벡터가 나오기 위해서 모든 값이 0이어야 한다면 선형 결합에 사용된 벡터들은 서로 선형 독립의 관계를 가진다 라고 표현한다. 

 

선형 독립의 관계를 가지는 벡터끼리 결합하면 벡터 공간에 속한 모든 벡터를 생성할 수 있다. 이는 벡터 공간을 다룰 때 중요하게 여겨지는 성질이다.

 

선형 종속 관계에 있고, 평행 관계에 있는 벡터로 알아보았을 때, 평면의 모든 점을 생성하기 위한 선형 결합식에는 서로 평행하지 않는 2개의 벡터와, 이 두 벡터가 서로 선형 독립적의 관계를 갖고 있어야함을 알 수 있다.

 

벡터 3개는 선형 독립 관계가 유지될 수 없다. 오직 2개만 사용되어야 한다.

 

용어 정리 

기저 Basis : 벡터 공간 내 모든 벡터를 생성할 수 있는 선형 독립 관계를 가지는 벡터의 집합

기저 벡터 Basis Vector : 벡터 (2,1) 은 기저 B = {(2,1), (1,3)} 에 속한 기저 벡터다.

2차원 : 평면으로 구성된 벡터 공간은 다양한 기저 집합의 경우의 수가 존재하지만, 모든 기저 집합의 원소 수는 2개뿐이다. 평면에 대응하는 벡터 공간을 2차원으로 정의할 수 있다.

2차원 실벡터 공간 Real vector space : 구체적인 정보를 제공하기 위해 수 집합의 기호와 차원의 정보를 첨자로 결합해 R^2로 나타낸다.

표준 기저 Standart Basis : 2차원을 구성하는 다양한 기저 중에서 한 축만 사용하는 단위 벡터 (1,0), (0, 1)

표준 기저 벡터 Standard Basis Vector : 표준 기저의 각 원소.

 

벡터 마무리

벡터의 합과 스칼라 곱셈의 두 연산을 사용해 벡터를 이동시킬 수 있었다. 

앞으로 학습할 행렬의 개념을 이해하기 위해 거시적인 관점에서 벡터 공간 전체가 새로운 벡터 공간으로 변환되는 원리를 파악해야 한다. 이를 위해 벡터 공간으로부터 파생되는 선형 결합, 선형 독립, 기저, 기저벡터 등의 용어의 정의와 개념을 학습했다.